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Nilpotente Matrix Beispiel Essay

Die nilpotente Matrix und der nilpotente Endomorphismus sind Begriffe aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine quadratische Matrix bezeichnet man als nilpotent, wenn eine ihrer Potenzen die Nullmatrix ergibt:

für ein

Entsprechend bezeichnet man einen Vektorraum-Endomorphismus als nilpotent, wenn es eine Zahl gibt, sodass die Nullabbildung ist. Die kleinste natürliche Zahl , welche dieses Kriterium erfüllt bezeichnet man als Nilpotenzgrad oder Nilpotenzindex. Zwischen nilpotenten Matrizen und nilpotenten Endomorphismen gibt es folgenden Zusammenhang: Zu jeder nilpotenten Matrix ist die Linksmultiplikation dieser Matrix an Spaltenvektoren ein nilpotenter Endomorphismus. Umgekehrt ist jede Darstellungsmatrix eines nilpotenten Endomorphismus nilpotent.

Äquivalente Definitionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für eine quadratische Matrix mit Zeilen und Spalten sind folgende Aussagen äquivalent:

  • Speziell für Matrizen über oder anderen algebraisch abgeschlossenen Körpern gilt, dass sie genau dann nilpotent sind, wenn ihr einziger Eigenwert 0 ist.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Beispiel für eine nilpotente Matrix mit Nilpotenzgrad 2 ist die Matrix

da .

Eigenschaften nilpotenter Matrizen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wenn eine Matrix nilpotent mit Nilpotenzgrad k ist, dann …

Da eine nilpotente Matrix ein Spezialfall eines nilpotenten Elements eines Ringes ist, gelten die im Artikel „Nilpotentes Element“ getroffenen allgemeinen Aussagen auch hier.

Jordan-Chevalley-Zerlegung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Jeder Endomorphismus eines endlichdimensionalen Vektorraums über einem algebraisch abgeschlossenen Körper lässt sich eindeutig als Summe eines diagonalisierbaren und eines nilpotenten Endomorphismus schreiben. Diese Zerlegung wird als Jordan-Chevalley-Zerlegung bezeichnet und ist im Wesentlichen eine Folge der Existenz der Jordanschen Normalform.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Gerd Fischer: Lineare Algebra. (Eine Einführung für Studienanfänger) (= Vieweg Studium. Grundkurs Mathematik). 14., durchgesehene Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-03217-0, S. 384. 

In linear algebra, a nilpotent matrix is a square matrixN such that

for some positive integerk. The smallest such k is sometimes called the index of N.[1]

More generally, a nilpotent transformation is a linear transformationL of a vector space such that Lk = 0 for some positive integer k (and thus, Lj = 0 for all jk).[2][3][4] Both of these concepts are special cases of a more general concept of nilpotence that applies to elements of rings.

Examples[edit]

The matrix

is nilpotent, since M2 = 0. More generally, any triangular matrix with 0s along the main diagonal is nilpotent, with degree . For example, the matrix

is nilpotent, with

Though the examples above have a large number of zero entries, a typical nilpotent matrix does not. For example, the matrix

squares to zero, though the matrix has no zero entries.

Characterization[edit]

For an n × n square matrix N with real (or complex) entries, the following are equivalent:

The last theorem holds true for matrices over any field of characteristic 0 or sufficiently large characteristic. (cf. Newton's identities)

This theorem has several consequences, including:

  • The degree of an n × n nilpotent matrix is always less than or equal to n. For example, every 2 × 2 nilpotent matrix squares to zero.
  • The determinant and trace of a nilpotent matrix are always zero. Consequently, a nilpotent matrix cannot be invertible.
  • The only nilpotent diagonalizable matrix is the zero matrix.

Classification[edit]

Consider the n × nshift matrix:

This matrix has 1s along the superdiagonal and 0s everywhere else. As a linear transformation, the shift matrix “shifts” the components of a vector one position to the left, with a zero appearing in the last position:

[5]

This matrix is nilpotent with degree n, and is the “canonical” nilpotent matrix.

Specifically, if N is any nilpotent matrix, then N is similar to a block diagonal matrix of the form

where each of the blocks S1S2, ..., Sr is a shift matrix (possibly of different sizes). This form is a special case of the Jordan canonical form for matrices.[6]

For example, any nonzero 2 × 2 nilpotent matrix is similar to the matrix

That is, if N is any nonzero 2 × 2 nilpotent matrix, then there exists a basis b1b2 such that Nb1 = 0 and Nb2 = b1.

This classification theorem holds for matrices over any field. (It is not necessary for the field to be algebraically closed.)

Flag of subspaces[edit]

A nilpotent transformation L on Rn naturally determines a flag of subspaces

and a signature

The signature characterizes Lup to an invertible linear transformation. Furthermore, it satisfies the inequalities

Conversely, any sequence of natural numbers satisfying these inequalities is the signature of a nilpotent transformation.

Additional properties[edit]

  • If N is nilpotent, then I + N is invertible, where I is the n × nidentity matrix. The inverse is given by
where only finitely many terms of this sum are nonzero.
where I denotes the n × n identity matrix. Conversely, if A is a matrix and
for all values of t, then A is nilpotent. In fact, since is a polynomial of degree , it suffices to have this hold for distinct values of .

Generalizations[edit]

A linear operatorT is locally nilpotent if for every vector v, there exists a k such that

For operators on a finite-dimensional vector space, local nilpotence is equivalent to nilpotence.

Notes[edit]

  1. ^Herstein (1975, p. 294)
  2. ^Beauregard & Fraleigh (1973, p. 312)
  3. ^Herstein (1975, p. 268)
  4. ^Nering (1970, p. 274)
  5. ^Beauregard & Fraleigh (1973, p. 312)
  6. ^Beauregard & Fraleigh (1973, pp. 312,313)
  7. ^R. Sullivan, Products of nilpotent matrices, Linear and Multilinear Algebra, Vol. 56, No. 3

References[edit]

  • Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields, Boston: Houghton Mifflin Co., ISBN 0-395-14017-X 
  • Herstein, I. N. (1975), Topics In Algebra (2nd ed.), John Wiley & Sons 
  • Nering, Evar D. (1970), Linear Algebra and Matrix Theory (2nd ed.), New York: Wiley, LCCN 76091646 

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